关于友-陌生人图连通性的研究

由 Defant 和 Kravitz 提出的友-陌生人图，记为 $\mathsf{FS}(X,Y)$，其中 $X$ 和 $Y$ 均为具有 $n$ 个顶点的图。图 $X$ 代表位置，边标记相邻位置；图 $Y$ 代表人员，边标记朋友关系。$\mathsf{FS}(X,Y)$ 的顶点集由所有人员到位置的一一对应放置构成，若可以通过交换两个位于相邻位置且互为朋友的人员，从一种放置到达另一种放置，则这两种放置之间存在一条边。已有论文研究了 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 何时连通。本文考虑 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 何时为 $k$-连通，其中若一个图在移除任意 $k-1$ 个或更少顶点后仍保持连通，则称其为 $k$-连通。我们首先考虑当 $Y$ 为完全图或星图时的 $\mathsf{FS}(X,Y)$。我们找到了其连通度的紧确界，证明了其连通度等于其最小度。我们进一步考虑了当 $X$ 连通时 $\mathsf{FS}(X,\mathsf{Star}_n)$ 的连通分支大小。我们证明，与 Bangachev 提到的条件渐近相似的条件足以使 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 成为 $k$-连通。最后，我们考虑当 $X$ 和 $Y$ 分别是具有 $n$ 个顶点和边概率 $p_1$ 与 $p_2$ 的独立 Erdős–Rényi 随机图的情况。我们证明，对于 $p_0 = n^{-1/2+o(1)}$，若 $p_1p_2\geq p_0^2$ 且 $p_1,$ $p_2 \geq w(n) p_0$，其中当 $n \rightarrow \infty$ 时 $w(n) \rightarrow 0$，则 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 以高概率为 $k$-连通。这是渐近紧的，因为我们证明在渐近相似的阈值 $p_0'=n^{-1/2+o(1)}$ 以下，如果 $p_1p_2 \leq (p_0')^2$，则图 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 以高概率不连通。