随机图上朋友-陌生人图的连通性

考虑两个图 $X$ 和 $Y$，各有 $n$ 个顶点。 $X$ 与 $Y$ 的朋友-陌生人图 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 是一个以所有双射 $\sigma :V(X) \mapsto V(Y)$ 为顶点集的图，其中两个双射 $\sigma$、$\sigma'$ 相邻当且仅当它们恰好在 $X$ 的两个相邻顶点上不同，且相应映射在 $Y$ 中相邻。关于这些朋友-陌生人图，人们能提出的最基本问题是它们是否连通。Alon、Defant 和 Kravitz 证明，若 $X$ 和 $Y$ 是 $\mathcal{G}(n,p)$ 中的两个独立随机图，则保证 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 连通的阈值概率为 $p_0=n^{-1/2+o(1)}$，并建议研究一般非对称情形，即 $X\in \mathcal{G}(n,p_1)$ 且 $Y\in \mathcal{G}(n,p_2)$。本文中，我们证明若 $p_1 p_2 \ge p_0^2=n^{-1+o(1)}$ 且 $p_1, p_2 \ge w(n) p_0$，其中当 $n\rightarrow \infty$ 时 $w(n)\rightarrow 0$，则 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 以高概率连通，这推广了 Alon、Defant 和 Kravitz 关于 $p_1=p_2=p$ 的结果。