在二部图上行走的二部朋友与陌生人

给定 $n$ 顶点简单图 $X$ 和 $Y$,朋友与陌生人图 $\mathsf{FS}(X, Y)$ 以从 $V(X)$ 到 $V(Y)$ 的所有 $n!$ 个双射为顶点,其中两个双射相邻当且仅当它们在 $V(X)$ 的两个相邻元素上不同,且这两个元素的像在 $Y$ 中相邻。我们考虑 $X$ 和 $Y$ 均为 $K_{r,r}$ 的边子图的情形:由于奇偶性阻碍,该情形下 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 总是不连通的。在略微改进 Bangachev 结果的基础上,我们证明若 $X$ 和 $Y$ 的最小度分别为 $\delta(X)$ 和 $\delta(Y)$,且满足 $\delta(X) + \delta(Y) \geq \lfloor 3r/2 \rfloor + 1$,则 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 恰有两个连通分支。这证明了 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 避免孤立顶点的临界值等于其恰有两个连通分支的临界值。我们还考虑了一个概率设定:固定 $Y$ 为 $K_{r,r}$,而以概率 $p$ 独立包含 $K_{r,r}$ 的每条边来随机生成 $X$。借助 Zhu 的一个结果,我们展示了以阈值函数 $(\log r)/r$ 为阈值的相变现象:低于阈值时,$\mathsf{FS}(X,Y)$ 以高概率具有多于两个连通分支;高于阈值时,$\mathsf{FS}(X,Y)$ 以高概率恰有两个连通分支。综上,我们的结果解决了一个猜想并完整回答了 Alon、Defant 和 Kravitz 提出的两个问题。