友敌图的连通性与圈空间

若 $X=(V(X),E(X))$ 与 $Y=(V(Y),E(Y))$ 为 $n$ 顶点图，则它们的友敌图 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 是以从 $V(X)$ 到 $V(Y)$ 的双射为顶点构成的图，其中两个双射 $\sigma$ 与 $\sigma'$ 相邻当且仅当存在边 $\{a,b\}\in E(X)$ 使得 $\{\sigma(a),\sigma(b)\}\in E(Y)$ 且 $\sigma'=\sigma\circ (a\,\,b)$，这里 $(a\,\,b)$ 是交换 $a$ 与 $b$ 的 $V(X)$ 上的置换。我们证明了提供 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 连通的必要和/或充分条件的一般性定理。作为推论，我们得到了使 $\mathsf{FS}(\mathsf{Dand}_{k,n},Y)$ 连通的图 $Y$ 的完整刻画，其中 $\mathsf{Dand}_{k,n}$ 为蒲公英图；这实质性地推广了第一作者与 Kravitz 在 $k=3$ 情形下的定理。针对特定的 $Y$ 选择，我们刻画了使 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 连通的蜘蛛图 $X$。另辟蹊径，我们研究了友敌图的圈空间。Naatz 证明了若 $X$ 为路图，则 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 的圈空间由 $4$-圈与 $6$-圈张成；我们表明当 $X$ 为圈且 $Y$ 的支配数至少为 $3$ 时同一结论成立。当 $X$ 为圈且 $Y$ 的支配数至少为 $2$ 时，我们的证明阐明了 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 中的行走在特定 Coxeter 移动下的行为。