关于二部距离平衡图的连通性

如果一个连通图$\G$中，对于任意一对相邻顶点$u,v$，到$u$比到$v$更近的顶点数等于到$v$比到$u$更近的顶点数，则称该图为距离平衡图。Handa在[Bipartite graphs with balanced $(a,b)$-partitions, {\em Ars Combin.} {\bf 51} (1999), 113-119]中提问：是否每个不是圈的二部距离平衡图都是3-连通的？本文对Handa问题给出了否定回答。此外，我们证明了一个最小的、既不是圈也不是3-连通的二部距离平衡图有18个顶点并且是唯一的。同时，我们给出了所有非3-连通二部距离平衡图的完整分类，其中2-割中两个顶点之间的最小距离为3。所有这些图都是正则的，并且对于每个$k \geq 3$，都存在一个无限族这样的$k$-正则图。此外，我们确定了非3-连通二部距离平衡图必须具有的一些结构性质。作为应用，我们对二部强距离平衡图子族给出了Handa问题的肯定回答。