Georges-Kelmans 图的最小性

1971年，Tutte 在一篇文章中写道“人们不禁猜想每个 3-连通二部三次图都是哈密顿图”。受此评论启发，Horton 构造了一个含 96 个顶点的反例。在多位作者的一系列文章中，给出了若干更小的反例。这些图中最小的一个是含 50 个顶点的图，由 Georges 和 Kelmans 各自独立发现。本文中我们证明不存在更小的反例。由于文献中所有非哈密顿 3-连通二部三次图都具有循环 4-割——即使其围长为 6——很自然地会问这是否为必要条件。本文以否定回答此问题，并给出一类无限族非哈密顿循环 5-连通二部三次图的构造。1969年，Barnette 给出了该猜想的一个较弱版本，称 3-连通平面二部三次图是哈密顿图。我们证明 Barnette 猜想在至少 90 个顶点范围内成立。我们还报告，对小阶非哈密顿 3-连通二部三次图的搜索未发现有亏格小于 4 的图。