论图的悬挂树连通度

悬挂树连通度的概念由 Hager 于 1985 年引入。对于图 $G=(V,E)$ 和一个至少包含两个顶点的集合 $S\subseteq V(G)$，\emph{$S$-Steiner 树}或\emph{连接 $S$ 的 Steiner 树}（或简称\emph{$S$-树}）是 $G$ 的一个子图 $T=(V',E')$，它是一棵树且满足 $S\subseteq V'$。对于一棵 $S$-Steiner 树，如果 $S$ 中每个顶点的度数都等于一，则该树称为\emph{悬挂 $S$-Steiner 树}。两棵悬挂 $S$-Steiner 树 $T$ 和 $T'$ 称为\emph{内部不相交}的，如果 $E(T)\cap E(T')=\varnothing$ 且 $V(T)\cap V(T')=S$。对于 $S\subseteq V(G)$ 且 $|S|\geq 2$，\emph{局部悬挂树连通度} $\tau_G(S)$ 是 $G$ 中内部不相交的悬挂 $S$-Steiner 树的最大数量。对于满足 $2\leq k\leq n$ 的整数 $k$，\emph{$k$-悬挂树连通度}定义为 $\tau_k(G)=\min\{\tau_G(S)\,|\,S\subseteq V(G),|S|=k\}$。在本文中，我们首先研究悬挂树连通度的精确界。其次，我们得出了阈值图的精确值，并给出了完全多部图的悬挂树 $k$-连通度的上界。对于连通图 $G$，我们证明了 $0\leq \tau_k(G)\leq n-k$，并在本文中刻画了满足 $\tau_k(G)=n-k,n-k-1,n-k-2,0$ 的图。最后，我们得出了悬挂树连通度的 Nordhaus-Guddum 型结果。