在笛卡尔积网络中构造内部不相交的悬挂 Steiner 树

悬挂树连通性的概念由 Hager 于 1985 年引入。对于图 $G=(V,E)$ 以及至少包含两个顶点的集合 $S\subseteq V(G)$，\emph{$S$-Steiner 树}或\emph{连接 $S$ 的 Steiner 树}（或简称\emph{$S$-树}）是 $G$ 的这样一个子图 $T=(V',E')$，它是一棵树且满足 $S\subseteq V'$。对于一棵 $S$-Steiner 树，如果 $S$ 中每个顶点的度数都等于一，则该树称为\emph{悬挂 $S$-Steiner 树}。两棵悬挂 $S$-Steiner 树 $T$ 和 $T'$ 被称为\emph{内部不相交}的，如果 $E(T)\cap E(T')=\varnothing$ 且 $V(T)\cap V(T')=S$。对于 $S\subseteq V(G)$ 且 $|S|\geq 2$，\emph{局部悬挂树连通性} $\tau_G(S)$ 定义为 $G$ 中内部不相交的悬挂 $S$-Steiner 树的最大数目。对于满足 $2\leq k\leq n$ 的整数 $k$，\emph{悬挂树 $k$-连通性}定义为 $\tau_k(G)=\min\{\tau_G(S)\,|\,S\subseteq V(G),|S|=k\}$。本文证明，对于任意两个连通图 $G$ 和 $H$，$\tau_3(G\Box H)\geq \min\{3\lfloor\frac{\tau_3(G)}{2}\rfloor,3\lfloor\frac{\tau_3(H)}{2}\rfloor\}$。此外，该界是紧的。