笛卡尔积 digraphs 中三终端顶点的内部不相交有向挂饰 Steiner 树

设 $D=(V(D),A(D))$ 为一个具有终端顶点子集 $S\subseteq V(D)$ 的 digraph，其中 $|S|=k\geq 2$。根于 $r$ 的出树 $T$ 若满足 $r\in S\subseteq V(T)$ 且对每个 $u\in S\backslash \{r\}$ 有 $d_{T}^{+}(r)=d_{T}^{-}(u)=1$，则称为有向挂饰 $(S,r)$-Steiner 树（或简称为 pendant $(S,r)$-树）。若两个挂饰 $(S,r)$-树 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 满足 $A(T_{1})\cap A(T_{2})=\varnothing$ 且 $V(T_{1})\cap V(T_{2})=S$，则称其内部不相交。digraph $D$ 的挂饰树 $k$ 连通性 $\tau_{k}(D)$ 定义为：$$\tau_{k}(D)=\min\{\tau_{S,r}(D)\mid S\subseteq V(D),|S|=k,r\in S\},$$ 其中 $\tau_{S,r}(D)$ 表示 $D$ 中两两内部不相交的挂饰 $(S,r)$-树的最大数目。本文推导了笛卡尔积 digraph $D\square H$（其中 $D$ 和 $H$ 均为强 digraph）的挂饰树 3 连通性的尖锐下界。具体证明 $\tau_{3}(D\square H)\geq \tau_{3}(D)+\tau_{3}(H)$。此外，我们提出一种求解内部不相交挂饰 $(S,r)$-树以达到该下界的多项式时间算法。