数据中心网络内部不相交 Steiner 路径的打包

设 $S\subseteq V(G)$，$\pi_{G}(S)$ 表示图 $G$ 中边不相交路径 $P_{1},P_{2},\ldots,P_{t}$ 的最大数目 $t$，满足对于任意 $i,j\in\{1,2,\ldots,t\}$ 且 $i\neq j$，有 $V(P_{i})\cap V(P_{j})=S$。若 $S=V(G)$，则 $\pi_{G}(S)$ 为 $G$ 中边不相交生成路径的最大数目。已有证明 [Graphs Combin., 37 (2021) 2521-2533] 表明，对于给定的 $S\subseteq V(G)$，判定是否 $\pi_G(S)\geq r$ 是 NP 完全的。对于满足 $2\leq r\leq n$ 的整数 $r$，图 $G$ 的 $r$-路径连通度定义为 $\pi_{r}(G)=$min$\{\pi_{G}(S)|S\subseteq V(G)$ 且 $|S|=r\}$，它是树连通度的推广。在本文中，我们研究了使用 $n$ 端口交换机的 $k$ 维数据中心网络 $D_{k,n}$ 的 $3$-路径连通度，该网络在云计算中具有重要作用，并证明了当 $k\geq 1$ 且 $n\geq 6$ 时，$\pi_{3}(D_{k,n})=\lfloor\frac{2n+3k}{4}\rfloor$。