某些簇的连通性与 Deligne-Simpson 问题

Deligne-Simpson 问题（DSP）（相应地，弱 DSP）表述如下：{\em 给出共轭类 $C_j\subset GL(n,{\bf C})$ 或 $c_j\subset gl(n,{\bf C})$ 的选取的必要充分条件，使得存在不可约（相应地，具有平凡中心化子）的 $(p+1)$-元组矩阵 $M_j\in C_j$ 或 $A_j\in c_j$ 满足等式 $M_1... M_{p+1}=I$ 或 $A_1+... +A_{p+1}=0$}。矩阵 $M_j$ 和 $A_j$ 分别被解释为 Riemann 球上正则线性系统的单值算子以及 Fuchs 型系统的留数矩阵。对于 $(p+1)$-元组共轭类，其中一类具有互异特征值，1) 我们证明簇 $\{(M_1,..., M_{p+1})|M_j\in C_j,M_1... M_{p+1}=I\}$ 或 $\{(A_1,..., A_{p+1})|A_j\in c_j,A_1+... +A_{p+1}=0\}$ 是连通的，如果对于给定的共轭类 DSP 正可解；2) 我们给出弱 DSP 正可解的必要充分条件。