关于 Deligne-Simpson 问题

Deligne-Simpson 问题表述如下:给出共轭类 $C_j\subset SL(n,{\bf C})$ 或 $c_j\subset sl(n,{\bf C})$ 的选取的必要充分条件,使得存在不可约的 $(p+1)$-元组矩阵 $M_j\in C_j$ 或 $A_j\in c_j$ 满足等式 $M_1... M_{p+1}=I$ 或 $A_1+... +A_{p+1}=0$。除矩阵 $M_j$ 的情形下最大公约数 $\Sigma_{j,l}(\sigma)$(给定矩阵 $M_j$ 的具有给定特征值 $\sigma$ 和给定大小 $l$ 的 Jordan 块的个数,对所有 $j$、$\sigma$、$l$ 取)大于 1 外,我们对一般特征值解决了该问题。一般特征值由显式代数不等式定义。对此类特征值不存在不可约 $(p+1)$-元组。矩阵 $M_j$ 与 $A_j$ 被解释为 Riemann 球面上正规线性系统的单值算子以及 Fuchs 系统的留数矩阵。