$(P_k, P_\ell)$-箭图着色问题的复杂性

对于固定的非负整数 $k$ 和 $\ell$，$(P_k, P_\ell)$-Arrowing 问题询问给定图 $G$ 是否存在 $E(G)$ 的红/蓝着色，使得没有红色的 $P_k$ 副本和蓝色的 $P_\ell$ 副本。当 $\max(k,\ell) \leq 3$ 时该问题是平凡的，但已被证明当 $k = \ell = 4$ 时是 coNP 完全的。在这项工作中，我们证明了该问题对于所有 $k$ 和 $\ell$ 的对都是 coNP 完全的，除了 $(3,4)$ 以及当 $\max(k,\ell) \leq 3$ 时。我们的结果仅是无限图族上 $(F,H)$-Arrowing 的第二个困难性结果，也是关于 1-连通图的第一个。先前 $(F, H)$-Arrowing 的困难性结果依赖于构造避免产生过多 $F$ 和 $H$ 副本的图，从而便于对归约进行分析。这对于路径显然是不可避免的，因此需要更细致的方法。我们定义并证明了我们称之为“transmitters（传输器）”的特殊图的存在性。利用传输器，我们为三种不同情况构造了构件：1) $k = 3$ 且 $\ell \geq 5$，2) $\ell > k \geq 4$，以及 3) $\ell = k \geq 4$。对于 $(P_3, P_4)$-Arrowing，我们通过将问题归约到 2SAT 给出了一个多项式时间算法，从而成功地对全部 $(P_k, P_\ell)$-Arrowing 问题的复杂性进行了分类。