(P3, H)-箋图问题的复杂性及其扩展

人们常将 Ramsey 理论视为从随机性中涌现秩序的研究，这一理论在数学和计算机科学中发挥了重要作用，已在诸多领域产生应用，包括逻辑、并行处理和数论。图 Ramsey 理论的核心是箋图问题：对于给定的固定图 F 和 H，(F, H)-箋图问题询问给定图 G 是否存在一种红/蓝颜色对其边进行着色，使得其中不存在红色的 F 复制图，也不存在蓝色的 H 复制图。对于某些情况，问题被证明为 coNP-complete，或可在多项式时间内解决。然而，目前仍需更系统的方法来归类所有情况的复杂性。我们聚焦于 (P3, H)-箋图问题，因为 P3 是唯一一个仍保持开放性质疑的最简单有意义的情形，而且该情况的硬度很可能延伸至更一般的 (F, H)-箋图问题。为此，我们还能获得关于一类匹配删除问题复杂性的见解，因为 (P3, H)-箋图等价于 H-自由匹配删除。我们证明对于所有 2-连通的 H，除 H = K3 外，(P3, H)-箋图问题均为 coNP-complete，而当 H = K3 时，问题属于 P 类。我们引入一种新的图不变量，以帮助在构造约简器的图拼接时进行精细处理。此外，我们展示了如何将 (P3, H)-箋图的硬度结果推广到其他 (F, H)-箋图问题。这使得更直观且更易接受的硬度证明成为可能，而无需使用 ad-hoc 的 SAT 约束构造，从而更接近于对所有 (F, H)-箋图问题进行复杂性分类。