随机扰动图的拉姆齐性质：团与圈

给定图 $H_1,H_2$，若对 $G$ 的边以红、蓝两色任意着色均存在 $H_1$ 的红副本或 $H_2$ 的蓝副本，则称图 $G$ 为 $(H_1,H_2)$-拉姆齐图。本文研究随机扰动图中的拉姆齐问题：这是由 Bohman、Frieze 与 Martin 引入的随机图模型，从一个稠密图出发并添加给定数量的随机边。随机扰动图拉姆齐性质的研究由 Krivelevich、Sudakov 与 Tetali 于 2006 年开启；他们确定了需向稠密图添加多少随机边才能以高概率保证所得图为 $(K_3,K_t)$-拉姆齐图(对 $t\ge 3$)。他们还提出了将此结果推广到 $(K_3,K_t)$ 以外图对的问题。我们在此问题上取得显著进展，在 $H_1=K_s$ 且 $H_2=K_t$ ($s,t \ge 5$) 的情形给出精确解。尽管我们再次表明所需边数比纯随机图多项式级更少，但结果表明此情形与 $(K_3,K_t)$-拉姆齐问题颇为不同。此外，我们给出相应 $(K_4,K_t)$-拉姆齐问题的界；结合 Powierski 的构造，解决了 $(K_4,K_4)$-拉姆齐问题。我们还对 $H_1=C_s$ 与 $H_2=C_t$ 均为圈的情形给出精确解。另外我们考虑了相应的多色问题。我们最后的结果给出了 Krivelevich、Sudakov 与 Tetali 结果的另一推广：具体确定了需向稠密图添加多少随机边才能以高概率保证所得图为 $(C_s,K_t)$-拉姆齐图(对奇数 $s\ge 5$ 且 $t\ge 4$)。