直线乘积中线性空间的闭包

给定仿射空间 $\mathbb{A}^n$ 中的一个线性空间 $L$，我们研究其在射影直线乘积 $(\mathbb{P}^1)^n$ 中的闭包 $L'$。我们证明了其定义理想 $I(L')$ 的次数、多重分次 Betti 数、定义方程以及通用 Gröbner 基均由 $L$ 的拟阵 $M$ 组合确定。我们还证明了 $I(L')$ 及其所有初始理想均为 Cohen-Macaulay 且具有相同的 Betti 数。在此过程中，我们证明了 $I(L')$ 的初始理想是与 $M$ 的基活动相关的一类有趣单纯复形的 Stanley-Reisner 理想。我们还描述了 $I(L')$ 的状态多面体，该多面体与 $M$ 的拟阵基多面体相关。