$\mathrm{Sp}(1)$-Kepler 问题的经典动力学对称性

在每一个 $\mathrm{Sp}(1)$-Kepler 问题的相空间上，给出了单实 Lie 代数 $\mathfrak{so}^*(4n)$ 的一个 Poisson 实现。由此得到每个经典 $\mathrm{Sp}(1)$-Kepler 问题的 Laplace-Runge-Lenz 向量。借助 A. Weinstein 的一个想法，这些 Poisson 实现的验证大为简化。这些 Poisson 实现的全体被证明等价于 $\mathfrak{so}^*(4n)$ 在 Poisson 流形 $T^*\mathbb H_*^n/\mathrm{Sp}(1)$ 上的典范 Poisson 实现。（这里 $\mathbb H_*^n:=\mathbb H^n\backslash \{0\}$，且 $\mathrm{Sp}(1)$ 在 $T^*\mathbb H_*^n$ 上的 Hamilton 作用由 $\mathrm{Sp}(1)$ 在 $\mathbb H_*^n$ 上的自然右作用诱导。）