从 C^2 到 C^2 的映射的 Beckman-Quarles 定理

令 $\phi: C^2 \times C^2 \to C$, $\phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2$。称 $f:C^2\to C^2$ 保单位距离，若对任意 $X,Y \in C^2$，$\phi(X,Y)=1$ 蕴含 $\phi(f(X),f(Y))=1$。我们证明每个保单位距离的映射 $f:C^2\to C^2$ 具有形式 $J \circ (\gamma,\gamma)$，其中 $\gamma:C\to C$ 是一个域同态，且 $J:C^2\to C^2$ 是一个具有正交线性部分的仿射映射。我们还对任意交换域 K 证明了一个更一般的结果，其中要求 $\{x \in K: x^2+1=0\} \neq \emptyset$ 且 $\text{char}(K) \notin \{2,3,5\}$。