Beckman-Quarles 定理关于从 R^2 到 C^2 的连续映射的版本
度量几何
2007-05-23 v1
摘要
令 \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2。称 f:R^2 -> C^2 保持距离 d>=0，若对每对 x,y \in R^2，\phi(x,y)=d^2 蕴含 \phi(f(x),f(y))=d^2。我们证明：若 x,y \in R^2 且 |x-y|=(2\sqrt{2}/3)^k \cdot (\sqrt{3})^l（k,l 为非负整数），则存在有限集 {x,y} \subseteq S(x,y) \subseteq R^2，使得每个从 S(x,y) 到 C^2 的单位距离保持映射均保持 x 与 y 之间的距离。由此推出：每个从 R^2 到 C^2 且保持单位距离的连续映射保持所有距离。
引用
@article{arxiv.math/0206260,
title = {The Beckman-Quarles theorem for continuous mappings from R^2 to C^2},
author = {Apoloniusz Tyszka},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0206260},
year = {2007}
}
备注
12 pages, 4 figures