二维严格凸赋范空间上Beckman-Quarles定理的离散形式

设$X$为实赋范向量空间且$\dim X \ge 2$。设$d>0$为固定实数。我们证明：若$x,y \in X$且$||x-y||/d$为有理数，则存在有限集$\{x,y\} \subseteq S(x,y) \subseteq X$具有如下性质：对于维数为2的每个严格凸空间$Y$，每个从$S(x,y)$到$Y$保持距离$d$的映射都保持$x$与$y$之间的距离。由此推出：每个从$X$到$Y$保持距离$d$的映射都是等距。