Beckman-Quarles 定理关于从 R^n 到 C^n 的连续映射的版本

令 \phi((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))=(x_1-y_1)^2+...+(x_n-y_n)^2。若对每对 x,y \in R^n，\phi(x,y)=d^2 蕴含 \phi(f(x),f(y))=d^2，则称 f:R^n -> C^n 保持距离 d>=0。我们证明：若 x,y \in R^n（n>=3）且 |x-y|=(\sqrt{2+2/n})^k \cdot (2/n)^l（k,l 为非负整数），则存在有限集 {x,y} \subseteq S(x,y) \subseteq R^n，使得每个从 S(x,y) 到 C^n 的保单位距离映射都保持 x 与 y 之间的距离。由此推出：每个从 R^n 到 C^n（n>=3）的保单位距离的连续映射保持所有距离。