从 R^n 到 C^n 的映射的 Beckman-Quarles 型定理

令 G: C^n \times C^n -> C, G((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))=(x_1-y_1)^2+...+ (x_n-y_n)^2。我们说 f: R^n -> C^n 保持距离 d>0，如果对每个 x,y \in R^n，G(x,y)=d^2 蕴含 G(f(x),f(y))=d^2。令 A(n) 表示所有满足如下性质的正数的集合 d：任何保持单位距离的映射 f: R^n -> C^n 也保持距离 d。令 D(n) 表示所有满足如下性质的正数的集合 d：若 x,y \in R^n 且 |x-y|=d，则存在有限集 S(x,y) 满足 {x,y} \subseteq S(x,y) \subseteq R^n，使得任何保持单位距离的映射 f:S(x,y)->C^n 也保持 x 与 y 之间的距离。我们证明：(1) A(n) \subseteq {d>0: d^2 \in Q}，(2) 对 n>=2，D(n) 是 (0,\infty) 的稠密子集。条目 (2) 蕴含每个从 R^n 到 C^n（n>=2）保持单位距离的连续映射保持所有距离。