二部 Kneser 图的自同构群

设 $n$ 和 $k$ 为整数且 $n>2k, k\geq1$。我们用 $H(n, k)$ 表示 $bipartite\ Kneser\ graph$（二部 Kneser 图），即一个以 $[n] = \{1, 2, ... , n\}$ 的 $k$-子集族和 $(n-k)$-子集族为顶点构成的图，其中任意两个顶点相邻当且仅当其中一个是另一个的子集。本文中，我们确定了 $H(n, k)$ 的自同构群。我们证明 $Aut(H(n, k))\cong Sym([n]) \times \mathbb{Z}_2$，其中 $\mathbb{Z}_2$ 是二阶循环群。然后，作为所得结果的一个应用，我们给出了确定 Kneser 图 $K(n,k)$ 自同构群的一个新证明。实际上我们展示了如何由 Johnson 图 $J(n,k)$ 的自同构群确定 Kneser 图 $K(n,k)$ 的自同构群。注意，已有的确定 Johnson 图 $J(n,k)$ 和 Kneser 图 $K(n,k)$ 自同构群的证明彼此独立。