Sidon 方程的反拉姆齐问题

对于 $n \geq k \geq 4$,令 $AR_{X + Y = Z + T}^k (n)$ 为在所有 $k$-染色 $c:[n] \rightarrow [k]$ 下 Sidon 方程 $X+Y = Z + T$ 的彩虹解的最大数目。可以证明 $[n]$ 中 Sidon 方程解的总数为 $n^3/12 + O(n^2)$,因此显然有 $AR_{X+Y = Z + T}^k (n) \leq n^3 /12 + O (n^2)$。我们将此上界改进为对所有 $n \geq k \geq 4$ 有 $$AR_{X+Y = Z+ T}^k (n) \leq \left( \frac{1}{12} - \frac{1}{24k} \right)n^3 + O_k(n^2)$$。此外,我们给出了一种 $[n]$ 的显式 $k$-染色,其 Sidon 方程的彩虹解多于随机 $k$-染色,并给出下界 $$\left( \frac{1}{12} - \frac{1}{3k} \right)n^3 - O_k (n^2) \leq AR_{X+Y = Z+ T}^k (n).$$ 当 $k = 4$ 时,我们采用基于加性能量(additive energy)的不同方法得到上界 $3n^3 / 96 + O(n^2)$,而在此情形下我们的下界为 $2n^3 / 96 - O (n^2)$。