关于广义 Sidon 集在多维网格上的彩虹 Cameron-Erd\H{o}s 问题

设 $n$, $d$, $k$ 和 $h$ 为正整数, 则 $[n]^d$ 表示 $d$ 维阶为 $n$ 的网格, 我们称方程 $\sum_{i=1}^{h}x_{1,i}=\cdots =\sum_{i=1}^{h}x_{k,i}$ 为 {\it $B_{k,h}$-方程}, 其中 $x_{1,1}, \ldots, x_{1,h}, \ldots, x_{k,1}, \ldots, x_{k,h}$ 为 $[n]^d$ 中的 $kh$ 个点。本文研究关于 $B_{k,h}$-方程的彩虹 Cameron-Erd\H{o}s 问题。我们得到 $[n]^d$ 中无彩虹解 $B_{k,h}$-方程的 $r$ 色染色的渐近数, 并证明具有此属性的典型染色为 $(kh-1)$ 色染色。我们还证明在所有 $[n]^d$ 的子集中, $[n]^d$ 是唯一一个容纳无彩虹解 $B_{k,h}$-方程的 $r$ 色染色数最大的子集。我们的结果在 $d=1$ 且 $k=h=2$ 的情况下确认了 Lin、Wang 和 Zhou [{\it European J. Combin.}, 2022] 对 Sidon 集的猜想; 在 $d=1$, $k=2$ 且 $h\geq 2$ 的情况下部分解答了 Cheng、Jing、Li、Wang 和 Zhou [{\it J. Combin. Theory Ser. A}, 2023] 提出的关于线性方程的问题; 在 $d\geq 2$ 且 $k=h=2$ 的情况下对应于无彩虹（可能是退化）平行四边形的染色, 这一几何视角可能独有兴趣。我们的证明结合了超图容器方法与稳定性分析和偏差获益论证。