FAMED 几何三角分解的安德森-卡什夫指数猜想

我们通过引入 FAMED 三角分解的概念来研究安德森-卡什夫体积猜想，这是一类满足特定组合属性的理想三角分解 $3$ 维流形。对于任何 FAMED 三角分解的单孔双曲 $3$ 维流形 $M$（具有平凡的第二同伦），我们证明了在 $M$ 的 Teichm"uller TQFT 中存在 Jones 函数。对于 FAMED 几何三角分解的 $M$，我们以 Neumann-Zagier势函数和 Dimofte-Garoufalidis 的 1 环不变式为基础，建立了 Jones 函数的渐近展开。结果表明，我们证明了 $M$ 的安德森-卡什夫体积猜想，并为由安德森-马尔苏拉 developing 的 Teichm"uller TQFT 提供了新的 AJ 猜想见解。我们进一步发现一种新现象：对于 FAMED 几何三角分解，Teichm"uller TQFT 中的配分函数随凌拱体积减小而指数衰减。这种视角为 Casson 猜想关于角结构提供了潜在应用。扩充 Gu\'eritaud、Piguet-Nakazawa 和第一作者之前的成果，并补充 Guilloux 和两位作者的平行结果，我们证明了上述安德森-卡什夫体积猜想的所有推广，对每个双曲扭结以及 $S^3$ 中的前 42,000 个双曲结都成立。