相对 Reshetikhin-Turaev 不变量、双曲锥度量与离散傅里叶变换 I

我们提出关于闭定向 $3$-流形中带色的框化链环的相对 Reshetikhin-Turaev 不变量的体积猜想，其渐近行为与流形上以该链环为奇异轨迹、锥角由着色决定的双曲锥度量的体积及 Chern-Simons 不变量相关。在环境 $3$-流形由沿某基本影子链环的若干分量作整手术得到、且环境流形中链环的补空间同胚于基本影子链环补空间、且锥角充分小的情形下，我们证明了该猜想。结合 Costantino 与 Thurston 的结果——即所有带环面或空边界的紧定向 $3$-流形均可由沿某个合适的基本影子链环的若干分量作整手术得到——这为解决 Chen-Yang 关于闭定向双曲 $3$-流形的 Reshetikhin-Turaev 不变量的体积猜想提供了一条可能的途径。我们还引入了一族拓扑操作（配对变换操作），连接所有具有同胚补空间的闭定向 $3$-流形及其内部框化链环的配对，这些操作对应于对相应的相对 Reshetikhin-Turaev 不变量作部分离散傅里叶变换。作为一个应用，我们发现了离散傅里叶变换的泊松求和公式。