有理链环的 Alexander 多项式

我们将有理链环的 Alexander 多项式 $\Delta(x,y)$ 的 Newton 多边形边界上的某些项，与我们称为标准形式的特定图中单色扭转位点的数量和长度联系起来。对 $\Delta(x,y)$ 进行归一化，使其不出现 $x^{-1}$ 或 $y^{-1}$ 项，但 $x^{-1}\Delta(x,y)$ 和 $y^{-1}\Delta(x,y)$ 具有负指数，且总次数为偶数的项为正，总次数为奇数的项为负。如果有理链环具有无自交叉的既约交错图，则 $\Delta(-1, 0) = 1$。如果有理链环的标准形式具有 $m$ 个单色扭转位点，且第 $j^{\textrm{th}}$ 个单色扭转位点具有 $\hat{q}_j$ 个交叉，则 $\Delta(-1, 0) = \prod_{j=1}^{m}(\hat{q}_j+1)$。我们的证明采用了 Kauffman 的时钟移动 (clock moves) 以及 $\Delta(x,y)$ 各项的格，其中 $y$ 的幂次不能减小。