局部域的仿射群是Hermitian群

关于群$\mathbb{Q}_p \rtimes \mathbb{Q}_p^*$是否为Hermitian群的疑问在文献中多次被表述为开放问题，甚至在2015年R. Palma最近发表的论文中亦如此。在本文中，我们通过证明以下更一般的定理来确认该群为Hermitian群：给定任意局部域$\mathbb{K}$，仿射群$\mathbb{K} \rtimes \mathbb{K}^*$是一个Hermitian群。该证明是源于1970年代关于Hermitian Banach $*$-代数的结果。在$\mathbb{K}$为非仲射局部域的情况下，此结果产生局部紧致Hermitian群的示例，这些是满足这些性质的第一个群示例。这一结果也回答了Palma关于是否存在此类群的第二个问题。