群逆极限的阿贝尔化

阿贝尔化是从群到阿贝尔群的函子，它是嵌入函子的左伴随。作为左伴随，阿贝尔化函子与所有小余极限可交换。本文研究群的极限的阿贝尔化与它们的阿贝尔化的极限之间的关系。我们证明：若 $\mathcal{T}$ 是可数导向偏序集，且 $G:\mathcal{T}\longrightarrow\mathcal{G} rp$ 是满足 Mittag-Leffler 条件的群图，则自然映射 $$\mathrm{Ab}(\lim_{t\in\mathcal{T}}G_t)\longrightarrow\lim_{t\in\mathcal{T}}\mathrm{Ab}(G_t)$$ 是满射，且其核是一个余挠群。在群的可数乘积这一特殊情形下，我们证明该核的 Ulm 长度不超过 $\aleph_1$。