线性支持有界的连续算子

对于任意 Tychonoff 空间 $X$，设 $D(X)$ 为集合 $C(X)$ 中所有连续函数或集合 $C^*(X)$ 中所有有界连续函数。当 $D(X)$ 采用点收敛拓扑时记为 $D_p(X)$。Zakrzewski 证明了若 $X$ 和 $Y$ 为 $\sigma$-紧空间，且存在连续线性映射 $T:C_p(X)\to C_p(Y)$ 使得 $T(C_p(X))$ 在 $C_p(Y)$ 中稠密且 $|\supp(y)|\leq m$ 对每个 $y\in Y$ 成立，则 $\dim Y\leq m\cdot\dim X+m+m!-1$。此处，$\supp(y)$ 表示线性连续映射 $l_y:C_p(X)\to\mathbb R$ 的支撑，定义为 $l_y(f)=T(f)(y)$。本文我们改进最后一个不等式，证明若 $X,Y$ 为 Tychonoff 空间且存在连续线性满射 $T:D_p(X)\to D_p(Y)$ 且 $|\supp(y)|\leq m$ 对每个 $y\in Y$ 成立，则 $\dim Y\leq m\cdot\dim X$。这意味着若 $T:D_p(X)\to D_p(Y)$ 为连续线性满射且 $X,Y$ 为 Tychonoff 空间且 $\dim X=0$，则 $\dim Y=0$。我们的证明通过细化 \cite{ev} 中的技术获得。