分数布朗运动驱动的随机微分方程的Tanaka公式

我们为Hurst参数$H > \frac{1}{2}$的分数布朗运动（fractional Brownian motion, fBm）驱动的随机微分方程（stochastic differential equation, SDE）的解推导了一个Tanaka型公式。虽然针对分数布朗运动本身的Tanaka公式已经建立，但迄今为止，对于由fBm驱动的非线性SDE的相应结果尚未出现。我们的公式揭示了一种此前未被观察到的结构：它同时包含一个Skorokhod积分和一个Malliavin迹修正项，其中局部时的类似物通过一个涉及Dirac分布和解的Malliavin导数的二重积分出现。第二个二重积分捕获了扩散系数沿流的变化。我们分析中的一个关键步骤是一种建立迹项$L^2$-收敛性的新方法，该方法避免了使用白噪声分析，而是利用了解的概率律的高斯型密度估计。该结果适用于适当正则性假设下的一类广泛方程，并自然地扩展到凸泛函。作为特例，我们恢复了分数布朗运动和分数Ornstein--Uhlenbeck过程的已知恒等式。