哈密顿 Vlasov 系统中的对称约化与周期解

本文讨论一种从经典 Vlasov 系统平衡点分岔出周期解的通用方法。解决该问题的主要途径选为任意 Vlasov 系统的哈密顿表示，该表示由 Fröhlich、Knowles 和 Schwarz 首次提出，并由作者近期推广。该方法将问题转化为具有相位等变哈密顿量的复值 $\mathcal{L}^2$ 函数框架。通过 Marsden-Weinstein 对称约化，问题被映射到商流形 $\mathbb{S}^{\mathcal{L}^2}/\mathbb{S}^1$ 上的哈密顿系统，这实际被证明是闭合动力学许多轨迹所必需的。作为应用该方法的玩具模型，我们使用调和 Vlasov 系统，即具有吸引调和两体相互作用势的非相对论 Vlasov 方程。该模型的简单结构允许直接算出其所有解，从而检验哈密顿形式论与对称约化在 Vlasov 系统中的益处。