具有高阶动量分布的 LDDMM 中的对称性

在大变形微分同胚度量映射（LDDMM）图像配准的一些实现中，我们考虑局部平移图像数据的粒子运动。然后我们将粒子的运动提升以获得整个图像上的运动。然而，考虑不仅进行平移的粒子也是完全可能的，这正是本文将要描述的内容。由于与 EPDiff 相关的未约化拉格朗日量具有 $\Diff(M)$ 对称性，因此对于任何李子群，它也必须表现出 $G \subset \Diff(M)$ 对称性。在本文中，我们将描述一个李群塔 $G^{(0)} \subseteq G^{(1)} \subseteq G^{(2)} \subseteq...$，它们对应于保持 $k$ 阶射影数据。约化构型空间 $Q^{(k)} := \Diff(M) / G^{(k)}$ 将是有限维的（特别是，$Q^{(0)}$ 是 $M$ 中 $N$ 个粒子的构型流形）。我们将观察到 $G^{(k)}$ 是 $G^{(0)}$ 的正规子群，因此商 $G^{(0)} / G^{(k)}$ 本身是一个作用于 $Q^{(k)}$ 的（有限维）李群。这使得 $Q^{(k)}$ 成为 $Q^{(0)}$ 上的主丛，并且 $Q^{(k)}$ 上的约化测地线方程将具有 $G^{(0)} / G^{(k)}$ 对称性。诺特定理意味着 $T^{\ast}Q^{(k)}$ 上的约化系统存在守恒动量。