等温气体动力学方程的对称性与全局可解性

我们研究与等温气体动力学中由两个守恒律组成的系统相关的柯西问题，其中压强与密度由 $\gamma$-律方程 $p(\rho) \sim \rho^\gamma$ 关联，且 $\gamma =1$。我们的结果补充了先前针对 $\gamma >1$ 所获得的结论。我们证明了由消失粘性方法生成的熵解的全局存在性与紧性。证明依赖于补偿紧致性论证与对称群分析。有趣的是，我们此处利用了等温气体动力学系统在密度的一个线性伸缩模下不变这一事实。该性质使我们能将问题化简为具有小初始密度的问题。与描述欧拉方程所有熵的线性双曲方程相关联的一个对称群，给出了在 $\rho=1$ 直线上施加初始数据的基本解。这与（当 $\gamma >1$ 时）在真空线 $\rho =0$ 上规定初始数据的常用方法形成对照。我们此处构造的熵是弱熵，即它们在密度消失时为零。我们证明的另一特点在于化简定理，该定理利用弱熵族来证明一个杨测度必须化简为狄拉克质量。这一步基于正则化测度与有界变差函数的乘积的新收敛结果。