自由格之间的对称嵌入

根据 Ph. M. Whitman 1941 年的结果,三个生成元上的自由格 FL(3) 包含一个同构于由可数多个元素自由生成的格 FL($\omega$)=FL($\aleph_0$) 的子格 $S$。第一作者最近通过构造 FL(3) 中满足 $S\cong$ FL($\omega)$ 的子格,将这一经典结果“对称化”,使得 $S$ 在 FL(3) 中是自对偶定位的(SELFDUALLY POSITIONED),即它在保持三个自由生成元各自不动的 FL(3) 的自然对偶自同构下不变。现在我们走向对称性上的极致:构造 FL(3) 中满足 $S\cong$ FL$(\omega)$ 的自对偶定位子格 $S$,使得 $S$ 中每个元素都被 FL(3) 的所有自同构固定。也就是说,用我们的术语,我们以完全对称(TOTALLY SYMMETRIC)的方式将 FL$(\omega)$ 嵌入 FL(3)。我们的主要结果确定了所有大于 2 的基数对 $(\kappa,\lambda)$,使得 FL$(\kappa)$ 能以完全对称的方式嵌入 FL$(\lambda)$。此外,我们放宽对 $S\cong$FL$\kappa$ 的要求,仅要求 $S$ 关于 FL$(\lambda)$ 的自同构封闭,或 $S$ 自对偶定位且关于自同构封闭;即便在这两种情形下我们也确定了相应的基数对 $(\kappa,\lambda)$。我们用第一作者开发的计算机程序复核了部分计算。该程序用于自由格的字问题,运行于 Windows 下且可免费获取。