自由格的初等性质

我们开启对自由格一阶模型论的系统分析。首先，我们证明有限秩自由格并非正不可区分的，因为存在一个在正 $\exists \forall$ 句中于 $\mathbf F_3$ 为真、于 $\mathbf F_4$ 为假。其次，我们证明 $\mathrm{Th}(\mathbf F_n)$ 的每个模型均容许一个到 $\mathbf F_n$ 的 profinite-bounded 完备化 $\mathbf H_n$ 的正则同态。第三，我们证明 $\mathbf H_n$ 同构于 $\mathbf F_n$ 的 Dedekind-MacNeille 完备化，且 $\mathbf H_n$ 与 $\mathbf F_n$ 不正初等等价，因为存在一个正 $\forall\exists$ 句在 $\mathbf H_n$ 中为真而在 $\mathbf F_n$ 中为假。最后，我们证明 $\mathrm{DM}(\mathbf F_n)$ 是 $\mathrm{Id}(\mathbf F_n)$ 的收缩核，且对任意满足 Whitman 条件 $\mathrm{(W)}$ 且由并素元生成的格 $\mathbf K$，三格 $\mathbf K$、$\mathrm{DM}(\mathbf K)$ 与 $\mathrm{Id}(\mathbf K)$ 共享同一正全称一阶理论。