对称div-拟凸性与静力问题的松弛

我们考虑静力平衡问题，其中主要未知量是应力场，且解在平衡约束下使余能最大化。此类泛函序列下半连续性的充要条件是对称${\rm div}$-拟凸性，这是Fonseca与Müller的$A$-拟凸性在$A = {\rm div}$作用于$R^{n\times n}_{sym}$上的特例。我们具体考虑塑性极限分析静力问题的例子，并试图刻画其在非凸弹性域这一非标准情形下的松弛。我们证明，对于弹性域依赖于压强$p$与米塞斯等效应力$q$的各向同性材料，弹性域的对称${\rm div}$-拟凸包络可显式刻画。该包络随后由$(p,q)$平面中的秩-$2$凸包构造得出。值得注意的是，由于平衡约束，松弛后的弹性域仍可强非凸，这表明弹性域的凸性并非塑性中存在性的要求。