关于非线性弹性问题的半正定松弛：以柔度凸于克莱因-戈布斯应变张量的能量为例
最优化与控制
2026-04-16 v1
摘要
在非线性弹性中，寻找最小化给定储能密度的材料变形是一项具有挑战性的变分问题，可能不存在最小化解：能量最优材料会形成无限细小的微结构（皱褶）而非平滑变形。在能量函数非凸但框架不变且对克莱因-戈布斯应变张量凸的情形下，我们使用标准的Le Dret-Raoult半正定投影公式计算能量函数的准凸包，从而证明原始非凸变分问题与其基于占据测度的线性时刻问题之间不存在松弛间隙。这意味着Lasserre时刻-二次规划（SOS）等级的收敛性得以保证，并提供一种计算高效、无网格的numerical方法，与有限元方法不同，避免了不可取的网格相关性artifact。就额外假设边界条件为线性且函数在应变张量上为SOS凸的情况下，我们证明Lasserre等级的第一级即为精确的。这就是说，计算克莱因-戈布斯应变张量上的准凸包，在某一点上简化为求解一个小型的凸半正定优化问题。
引用
@article{arxiv.2604.13566,
title = {Semidefinite relaxations for nonlinear elasticity with energies convex in the Cauchy-Green strain tensor},
author = {Didier Henrion and Milan Korda and Martin Kružík and Karolına Sehnalová},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.13566},
year = {2026}
}