对称微分与 $L^2$ 全纯函数的喷射延拓

设 $\Sigma = \mathbb B^n/\Gamma$ 为复双曲空间，其中 $\Gamma$ 是单位球 $\mathbb B^n$ 的自同构群的离散子群，$\Omega$ 是 $\mathbb B^n \times\mathbb B^n$ 在 $\Gamma$ 的对角作用下的商，它是 $\Sigma$ 上的全纯 $\mathbb B^n$-纤维丛。本文旨在研究 $\Sigma$ 的对称微分与 $\Omega$ 的加权 $L^2$ 全纯函数之间的关系。若存在 $\Omega$ 上的全纯函数且在 $\Omega$ 的极大紧复簇上消失至 $k$ 阶，则 $\Sigma$ 上存在 $k+1$ 次对称微分。利用此性质，我们证明对任意 $N \geq n+2$，$\Sigma$ 总存在 $N$ 次对称微分。此外，若 $\Sigma$ 紧，则对 $\Sigma$ 上每个对称微分，我们在 $\Omega$ 上构造一个加权 $L^2$ 全纯函数。我们还证明当对每个 $0 < m \leq n+1$ 有 $H^0 (\Sigma, S^{m} T_{\Sigma}^* )=0$ 时，$\Omega$ 上任意有界全纯函数为常数。