时滞耦合锁相环振荡器同步态的对称分岔分析

近年来，人们对研究时滞耦合振荡器网络的兴趣日益浓厚，因为这类网络存在于许多实际应用中。在许多情况下，这些网络中会出现对称模式，作为结果，系统的一部分可能会重复自身，且该子系统的性质代表了整个相空间上的动力学。本文基于 Correa 和 Piqueira \cite{Correa2013} 关于双节点网络的前期工作，提出了对二阶 N 节点时滞全连接网络的分析。本研究利用对称群进行。我们展示了对称性所强制产生的多重特征值的存在性，以及 Hopf 分岔的存在性。使用了三种不同的模型来分析网络动力学，即全相位模型、相位模型和相位差模型。我们确定了一组有限的频率 $\omega$，在每种情况下，这些频率可能对应于时滞临界值处的 Hopf 分岔。利用 $S_n$ 映射以及基于 Lambert W 函数的数值计算来实际寻找 Hopf 分岔。数值模拟被用于确认解析结果。虽然我们将注意力限制在二阶节点上，但只要节点间连接的时滞保持相等，结果便可推广至高阶网络。