最优传输映射 Ma-Trudinger-Wang 正则性的平方和规划
最优化与控制
2024-12-23 v1 人工智能
机器学习
微分几何
摘要
对于给定的地面成本，近似将给定概率测度前推至另一个测度的 Monge 最优传输映射已成为几种现代机器学习算法中的基本操作。与此地面成本函数相关的四阶 Ma-Trudinger-Wang (MTW) 张量在最优传输中提供了曲率的概念。该张量的非负性对于建立 Monge 最优传输映射的连续性起着至关重要的作用。然而，对于任意给定的地面成本，通常难以解析验证此条件。为了扩展可验证 MTW 非负性的成本函数类，我们提出了一种可证明正确的计算方法，该方法使用平方和（SOS）规划为 MTW 张量提供非负性证书。我们进一步表明，我们的 SOS 技术也可用于计算 MTW 非负性成立区域的内部近似。我们将提出的 SOS 规划方法应用于几个实际的地面成本函数，以近似其相应最优传输映射的正则性区域。
引用
@article{arxiv.2412.13372,
title = {Sum-of-Squares Programming for Ma-Trudinger-Wang Regularity of Optimal Transport Maps},
author = {Sachin Shivakumar and Georgiy A. Bondar and Gabriel Khan and Abhishek Halder},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.13372},
year = {2024}
}