无和循环多基与 Ramsey 代数的构造

给定 $X\subseteq \mathbb{Z}_N$，若 $(X+X)\cup X=\mathbb{Z}_N$，则称 $X$ 为\emph{循环基}；若 $x\in X$ 蕴含 $-x \in X$，则称其为\emph{对称的}；若 $(X+X)\cap X=\varnothing$，则称其为\emph{无和的}。我们探讨对于哪些 $m$, $N\in\mathbb{Z}^+$，$\mathbb{Z}_N$ 的非单位元集合可以被划分为 $m$ 个对称无和循环基。如果此外还要求不同的循环基以某种特定方式相互作用，我们就得到一个真正的关系代数，称为 Ramsey 代数。Ramsey 代数（也曾被称为 Monk 代数）此前已针对 $2\leq m\leq 7$ 的情形被构造出来。在本文中，我们为每个满足 $2\leq m\leq 400$ 的正整数 $m$ 提供了 Ramsey 代数的构造，例外情况是 $m=8$ 和 $m=13$。