与奇分支相关的路因子存在的充分条件

本文研究 $\{P_{2},P_{2k+1}\}$-因子存在的充分条件。我们证明，对于 $k\geq 3$，存在 $\varepsilon_{k}>0$，使得如果图 $G$ 对所有 $X\subseteq V(G)$ 满足 $\sum_{0\leq j\leq k-1}c_{2j+1}(G-X)\leq \varepsilon_{k}|X|$，则 $G$ 有一个 $\{P_{2},P_{2k+1}\}$-因子，其中 $c_{i}(G-X)$ 是 $G-X$ 中满足 $|V(C)|=i$ 的分支 $C$ 的个数。另一方面，我们构造了无穷多个没有 $\{P_{2},P_{2k+1}\}$-因子的图 $G$，使得对所有 $X\subseteq V(G)$ 满足 $\sum_{0\leq j\leq k-1}c_{2j+1}(G-X)\leq \frac{32k+141}{72k-78}|X|$。