图的谱半径与彩虹 $k$ 因子

设 $\mathcal{G}=\{G_1,\ldots, G_{\frac{kn}{2}}\}$ 为同一顶点集合 $V=\{1,\dots,n\}$ 上的图族，其中 $k\cdot n$ 为偶数。若存在一个在顶点集合 $V$ 上的 $k$ regular 图 $F$，且 $F$ 的所有边均来自 $\mathcal{G}$ 中的不同成员，则称 $\mathcal{G}$ 允许彩虹 $k$ 因子。在本文中，我们证明了对于 $k\geq 2$ 的彩虹 $k$ 因子存在的充分谱条件，即若对每个 $G_i\in \mathcal{G}$，$\rho(G_i)\geq\rho(K_{k-1}\vee(K_1\cup K_{n-k}))$，则 $\mathcal{G}$ 允许彩虹 $k$ 因子，除非 G_1=G_2=\cdots=G_{\frac{kn}{2}\cong K_{k-1}\vee(K_1\cup K_{n-k})。