关于$\mathbb{T}^d$不变Hilbert模块商的子正规性

本文研究$\mathbb{T}^d$不变Hilbert模块$\mathscr{H}$及其商模块，重点关注形如$\mathscr{H}/[p]$的子正规商模块分类，其中$p$为$d$个复变量中的齐次多项式。该分类的动机来自情形$p(z_1, z_2)=z_1-z_2$，此时$\widehat{\mathscr{H}_{\kappa_1} \otimes \mathscr{H}_{\kappa_2}}/[p]$的子正规性等价于$\mathbb{T}$不变Hilbert模块$\mathscr{H}_{\kappa_1}$和$\mathscr{H}_{\kappa_2}$的张量积模块$\mathscr{H}_{\kappa_1} \otimes_{\mathbb{C}[z]} \mathscr{H}_{\kappa_2}$的子正规性——这一问题首次由N.Salinas提出。在除一般结构结果外，我们还证明若$\mathscr{H}/[p]$为子正规，则$p$必须为无平方因子。此外，当$\mathscr{H}$为$H^2(\mathbb{D}^d)$或$H^2(\mathbb{B}^d)$，$d \geq 1$时，若$\mathscr{H}/[p]$为子正规，则$\mathrm{deg}\,p \leq 1$。我们进一步证明$H^2(\mathbb{D}^2)/[p]$（或$H^2(\mathbb{B}^2)/[p]$）为子正规当且仅当$\mathrm{deg}\,p \leq 1$。若$H^2_d$记为$d$维的Drury-Arveson模块，则$H^2_2/[p]$为子正规当且仅当$p$非零且$\mathrm{deg}\,p \leq 1$。这一现象尤为惊人，尤其是$H^2_d$在$d \geq 2$时并非子正规Hilbert模块。此外，上述现象在Dirichlet模块$D_2(\mathbb{B}^2)$中不复现。最后，我们给出一个例子表明$\mathcal{U}_d$不变子正规Hilbert模块$\mathscr{H}$可能存在子正规商模块$\mathscr{H}/[p]$，即使$\mathrm{deg}\,p = 2$。