由直和紧密逼近的直积子群

设 $I$ 为无限集，$\{G_i:i\in I\}$ 为一族（拓扑）群，$G=\prod_{i\in I} G_i$ 为其直积。对于 $J\subseteq I$，$p_{J}: G\to \prod_{j\in J} G_j$ 表示投影。我们称 $G$ 的子群 $H$ 为：(i) 在 $G$ 中\emph{一致可控}，如果对于每个有限集 $J\subseteq I$，存在一个有限集 $K\subseteq I$ 使得 $p_{J}(H)=p_{J}(H\cap\bigoplus_{i\in K} G_i)$；(ii) 在 $G$ 中\emph{可控}，如果对于每个有限集 $J\subseteq I$，有 $p_{J}(H)=p_{J}(H\cap\bigoplus_{i\in I} G_i)$；(iii) 在 $G$ 中\emph{弱可控}，如果当 $G$ 装备 Tychonoff 积拓扑时，$H\cap \bigoplus_{i\in I} G_i$ 在 $H$ 中稠密。容易证明 (i)$\to$(ii)$\to$(iii)。我们深入研究了这两个箭头何时可以逆转的问题。我们证明了当 $H$ 紧致时第一个箭头可以逆转，但即使 $H$ 紧致，第二个箭头也无法逆转。如果所有群 $G_i$ 都是有限的，则两个箭头均可逆转。当对于所有 $i\in I$ 有 $G_i=A$，其中 $A$ 是 Abel 群时，我们表明当且仅当 $A$ 是有限生成群时，第一个箭头对于 $G$ 的\emph{所有}子群 $H$ 均可逆转。文中还强调了与编码理论的联系。