次椭圆波方程永不可观测

众所周知,椭圆波方程(即具有黎曼拉普拉斯算子的波方程)在时间 $T_0$ 内的可观测性(以及对偶意义下的能控性)几乎等价于几何控制条件(GCC),该条件要求任意测地射线在 time $T_0$ 内与控制集相交。我们证明在次椭圆情形下 GCC 永不满足,且次椭圆波方程在有限时间内永不可观测。更精确地,给定流形 $M$ 上的任意次椭圆拉普拉斯算子 $\Delta=-\sum_{i=1}^m X_i^*X_i$,以及任意可测子集 $\omega\subset M$ 使得 $M\backslash \omega$ 的内部包含一点 $q$ 满足对某个 $1\leq i,j\leq m$ 有 $[X_i,X_j](q)\notin \text{Span}(X_1,\ldots,X_m)$,我们证明对任意 $T_0>0$,具有次椭圆拉普拉斯算子 $\Delta$ 的波方程在 $\omega$ 上于时间 $T_0$ 内不可观测。证明基于构造波方程的的解序列,其集中于(关于相应次黎曼距离的)测地线上,并在 $M\backslash \omega$ 中停留很长时间。作为对应,我们证明了海森堡群中波方程的一个正可观测性结果,其中观测集是相空间中精心选取的部分。