无四边形图的结构与线性-多米诺规则

我们用$P_t$和$C_t$分别表示具有$t$个顶点的路径和环。若将一个三角形与两个互斥的悬垂边相连，则得到一个{\em bull}。若将$P_3$的一个端点与三角形的一个顶点识别，则得到一个{\em hammer}。若存在函数$f$，使得对给定图类${\cal F}$中所有诱导子图$G$都有$\chi(G)\leq f(\omega(G))$，则称该图类为$\chi$-bounded的。若对每一个$\chi$-bounded的图类${\cal F} ，$ {\cal C} \cap {\cal F} 是多项式（resp. 线性-多项式）$\chi$-bounded的，则称图类${\cal C}$为{\em Pollyanna}（resp. {\em linear-Pollyanna}）。Chudnovsky等人\cite{CCDO2023}证明，无bull图类和无hammer图类都是Pollyannas。设$G$为一个无 clique cutsets且无 universal cliques的连通图。本文证明，$G$为无$C_4$且无hammer的当且仅当其 girth至少为5；$G$为无$C_4$且无bull的当且仅当其为某个girth至少为5的图的clique扩张。由此，我们证明，无$C_4$且无bull的图类和无$C_4$且无hammer的图类都是linear-Pollyannas。