一个非遗传的 Pollyanna 类且非强 Pollyanna

Chudnovsky、Cook、Davies 和 Oum 引入了 Pollyanna 图类的概念：如果对于每个 $\chi$-有界类 $\mathcal{F}$，交集 $\mathcal{C} \cap \mathcal{F}$ 都是多项式 $\chi$-有界的，则类 $\mathcal{C}$ 是 Pollyanna 的。他们进一步定义，如果 $\mathcal{C}$ 对某个整数 $k$ 是 $k$-强 Pollyanna 的，则 $\mathcal{C}$ 是强 Pollyanna 的，这意味着对于每个 $k$-好类 $\mathcal{F}$，$\mathcal{C} \cap \mathcal{F}$ 都是多项式 $\chi$-有界的。他们提出是否存在不是强 Pollyanna 的 Pollyanna 图类的问题。在本文中，我们在字面解释下（即不要求图类是遗传的）对该问题给出了肯定回答。我们构造了一个类 $\mathcal{C}$，它是 Pollyanna 的，但对于所有 $k \ge 1$，它都不是 $k$-强 Pollyanna 的；特别地，$\mathcal{C}$ 不是强 Pollyanna 的。